베셀 함수
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1. 개요[편집]
베셀 함수(Bessel's function)는 베셀의 미분방정식
[math(\displaystyle x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 \quad (n \geq 0,\,n \in\mathbb{R}) )]
을 만족시키는 함수로, 흔히 헬름홀츠 방정식을 원통 좌표계에서 변수분리할 때 반지름 성분에서 튀어나오게 된다.
이 함수를 처음 발견한 사람은 다니엘 베르누이(D. Bernoulli; 1700 - 1782)지만, 수학적으로 정립한 사람이 베셀(F. W. Bessel; 1784 - 1846)[1] 이기 때문에 그의 이름이 붙었다.
이 문서는 초등적인 방법으로 베셀 함수를 다룬다. 심층적인 정보는 위키피디아(영어)을 참고하라.
2. 상세[편집]
위 미분방정식을 다시 쓰면
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{x^{2}-n^{2}}{x^{2}}y=0 )]
이 되므로 [math(x=0)]에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 이 미분방정식은 프로베니우스의 해법으로 풀 수 있으며, 해의 모양을
[math(\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} )]
으로 쓸 수 있다. 이것을 원래의 미분방정식에 대입하면
[math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(m+r)(m+r-1) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} (m+r) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r+2}-\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}n^{2}x^{m+r}=0 )]
이 되고, 최저차항의 계수를 비교함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle a_{0}[r(r-1)+r-n^{2}]=0 )]
위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r= \pm n)]이어야 한다. 원래 프로베니우스의 해법을 적용할 때는 이 [math(r)]값들의 차의 유형을 조사해야 하나, 일단 이를 나중으로 미루고 우선 더 큰 값인 [math(r=n)]을 대입하여 식을 정리하면 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} m(m+2n)x^{m+n}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+n}=0 )]
이에 [math(a_{n})]에 대한 점화식을 얻는다.
[math(\displaystyle a_{m+2}=-\frac{1}{(m+2)(m+2n+2)}a_{m} )]
그러면 [math(a_{1})]에 대해선
[math(\displaystyle a_{1}(1+2n) =0 )]
이 되고, [math(n \geq 0)]임을 고려하면 [math(a_{1}=0)]을 얻는다. 따라서 우리는 홀수 차수 항의 계수는 고려할 필요 없이 짝수 차수 항만 고려하면 되므로
[math(\displaystyle m = 2s \quad (s=0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots) )]
로 쓰자. 그러면 위 점화식은
[math(\displaystyle a_{2s+2}=-\frac{1}{2^{2}(s+1)(s+n+1)}a_{2s} )]
로 쓸 수 있고, 따라서 짝수차 계수에 대한 일반항
[math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s}}{2^{2s}s!\cdot(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) }a_{0} )]
을 얻는다. 여기서 감마 함수의 성질 [math(\Gamma(t+1)=t\Gamma(t))]를 사용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(s+n+1)&= (s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \Gamma(n+1) \\ \therefore \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(n+1)}&=(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \end{aligned} )]
을 얻는다. 따라서 위 일반항에 대입하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s} \Gamma(n+1)}{2^{2s}s!\cdot\Gamma(s+n+1) }a_{0} )]
이때 [math(\displaystyle a_{0}=[{2^{n}\Gamma(n+1)}]^{-1} )]으로 택하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle y(x)=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s+n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s+n} )]
으로 쓸 수 있는데, 이것을 [math(y(x) := J_{n}(x))]로 정의하고, 이를 [math(\boldsymbol{n})]차 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind of order [math(\boldsymbol{n})])라 한다. 참고로 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle J_{n} (x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta)\, \mathrm{d}\theta )]
또한, [math(n=1/2)]일 때는
[math(\displaystyle J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. [math(n=k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 아래의 재귀 관계 문단의 관계식을 이용하면 구할 수 있다.
다시 본론으로 돌아오자. 베셀의 미분방정식은 2계 선형 상미분방정식이기 때문에 선형 독립인 해는 2개이다. 따라서 [math(r=-n)]일 때도 동일한 과정을 거치면
[math(\displaystyle J_{-n}(x)=\sum_{s=N}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s-n} )]
임을 구할 수 있다. 여기서 [math(N)]은 [math(s-n+1>0)]을 만족시키는 최소의 [math(s)]값이다. [math(-n=-1/2)]일 때는
[math(\displaystyle J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} )]
임을 쉽게 증명할 수 있으며, [math(-n=-k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 마찬가지로 재귀 관계 문단을 참고하라.
따라서 베셀 미분방정식의 일반해를
[math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}J_{-n}(x) )]
로 쓸 수 있다. 단, [math(\boldsymbol{n})]이 정수가 아닐 때만 위와 같이 표현 가능하다. 왜냐하면 [math(n)]이 정수일 경우 [math(N=n)]이 되고
[math(\displaystyle \begin{aligned} J_{-n}(x)&=\sum_{s=N}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{s=n}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\cdot\Gamma(k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\cdot\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}J_{n}(x) \end{aligned} )]
가 되어 더 이상 [math(J_{-n}(x))]가 선형 독립인 해가 아니기 때문이다. 즉, [math(n)]이 정수일 때는 [math(J_{-n}(x))]를 두 번째 해로 쓸 수 없다. 그래서 수학에서는
[math(\displaystyle Y_{n}(x)= \frac{ \cos{(n \pi)} J_{n}(x) -J_{-n}(x)}{\sin{(n \pi})} )]
라는 [math(\boldsymbol{n})]차 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind of order [math(\boldsymbol{n})]) 혹은 [math(\boldsymbol{n})]차 노이먼 함수(Neumann function of order [math(\boldsymbol{n})])를 정의하였다. 이 함수가 베셀 미분방정식의 두 번째 해가 됨이 알려져 있지만 증명이 만만치 않기 때문에 이 문서에서는 결과만을 기입했다. [math(n)]이 정수일 때는 위 식이 [math(Y_{n}(x)=0/0)] 꼴을 갖기 때문에 아래의 극한
[math(\displaystyle Y_{n}(x)=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos{(\nu\pi)}J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu\pi)}})]
으로 정의한다는 것에 유의하라.[2][3] [math(n)]이 정수인 경우, 복잡한 과정을 통해 제2종 베셀 함수를 아래와 같이 멱급수 꼴로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi}J_{n}(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{\Gamma(n-s)}{s!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{\psi(s+1)+\psi(s+n+1)}{s!\cdot\Gamma(s+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s+n} )]
여기서 [math(\psi)]는 디감마 함수이다. 제2종 베셀 함수 또한 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)\,\mathrm{d}\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt})e^{-x\sinh{t}}\,\mathrm{d}t )]
따라서 베셀 미분방정식의 일반적인 해는 [math(n)]의 종류를 불문하고 다음과 같다.
[math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x) )]
3. 분석[편집]
가장 많이 사용되는 제1종 베셀 함수만을 기입하였다. 이 문단부터는 '베셀 함수'는 제1종 베셀 함수 [math(J_{n}(x))]를, '노이먼 함수'는 제2종 베셀 함수 [math(Y_{n}(x))]를 지칭한다.
3.1. 그래프[편집]
위 그래프에서 베셀 함수의 특징을 살펴볼 수 있다.
- 어느 정도 주기성을 띠나, 점점 0으로 수렴하는 형태이다.[4]
- 함숫값이 0이 되는 점은 무수히 많으며, 값이 해석적인 형태를 띠지 않는다.
다만, 노이먼 함수는 위와 같이 어느 정도 주기성을 띠나 [math(x \to 0)]에서 발산하는 경향이 있다.[5]
3.2. 베셀의 미분방정식의 다른 형태[편집]
3.2.1. 형태 1[편집]
베셀의 미분방정식
[math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 )]
이때,
[math(\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]
의 사실을 이용하면 아래와 같은 꼴로 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)+(x^2-n^{2})y=0 )]
3.2.2. 형태 2[편집]
이번엔 함수와 변수 치환
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(x)&=f(u) \\ u&=kx \end{aligned} )]
를 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이때, 미분방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(k^2 x^{2}-n^{2})f&=0 \\ u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-n^{2})f&=0 \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있어 [math(y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx))]를 해로 갖는다. 이것은 다시
[math(\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}(kx)^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}(kx)}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \\ x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다. 즉, [math(\displaystyle y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx) )]는 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y=0 )]
3.2.3. 형태 3[편집]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1-2a}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-n^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y=0 )]
꼴의 미분방정식은
[math(\displaystyle y=A_{1}x^{a}J_{n}(bx^{c})+A_{2}x^{a}Y_{n}(bx^{c}) )]
를 해로 갖는다. [math(a \sim c)]는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, [math(y=ux^{a})], [math(z=bx^{c})]의 치환을 통해 [math(u)], [math(z)]의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.
3.2.4. 형태 4[편집]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[(bce^{cx})^{2}+a^{2}-n^{2}c^{2}]y=0 )]
꼴의 미분방정식은
[math(\displaystyle y=A_{1}e^{ax}J_{n}(be^{cx})+A_{2}e^{ax}Y_{n}(be^{cx}) )]
을 해로 갖는다. [math(a \sim c)]는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, [math(y=ue^{ax})], [math(z=be^{cx})]의 치환을 통해 [math(u)], [math(z)]의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.
3.3. 영점[편집]
베셀 함수의 영점은 [math(J_{n}(x)=0)] 혹은 [math(Y_{n}(x)=0)]을 만족시키는 [math(x)]값이다. 그래프에서 볼 수 있듯이 베셀 함수의 영점은 무수히 많으나, 이 값을 해석적으로 구하기는 어렵다. 따라서 이를 다루는 대부분의 교재에서는 몇몇의 베셀 함수의 영점의 근삿값을 구해서 표로 정리한다.
우리는 이 영점들을 [math(x := j_{n,k})], [math(x := y_{n,k})]로 정의할 것이며, 각각 [math(J_{n}(x))], [math(Y_{n}(x))]의 [math(k)]번째 영점이다.
다음은 베셀 함수의 몇몇 영점들을 나타낸 것이다.
이외의 베셀 함수의 영점은 이곳을, 노이먼 함수의 영점은 이곳을 참고하라. 다만, [math(n)], [math(k)]를 각각 대입해야 값이 보인다.
3.4. 생성함수[편집]
베셀 함수에 대한 생성함수는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \exp{\left[ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) \right]} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} t^{n}J_{n}(x) )]
3.5. 미적분과 재귀 관계[편집]
베셀 함수의 정의식을 사용하여 다음을 얻을 수 있다. (혹은 생성 함수를 통하여도 증명할 수 있다.)
- [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{n}J_{n}(x) ]=x^{n}J_{n-1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n-1}(x)\,\mathrm{d}x=x^{n}J_{n}(x)+C )]
- [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-n}J_{n}(x) ]=-x^{-n}J_{n+1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=-x^{n}J_{n}(x)+C )]
위 식으로부터 아래를 얻을 수 있다.
- [math(\displaystyle nJ_{n}(x)+xJ_{n}'(x)=xJ_{n-1}(x) )]
- [math(\displaystyle nJ_{n}(x)-xJ_{n}'(x)=xJ_{n+1}(x) )]
이상의 결과를 종합함으로써 다음을 얻을 수 있다.
- [math(\displaystyle J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n }{x}J_{n}(x) )]
- [math(\displaystyle J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x) )]
- [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)&=-\frac{n}{x}J_{n}(x)+J_{n-1}(x) \end{aligned} )]
- [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)= \frac{n}{x}J_{n}(x)-J_{n+1}(x) \end{aligned} )]
다음의 성질 또한 있다.
- [math(\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n-1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n-1}(x)=\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} )]
- [math(\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n+1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n+1}(x)=-\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} )]
- [math(\displaystyle J_{n}(x)Y'_{n}(x)-J'_{n}(x)Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi x} )]
- [math(\displaystyle J_{n}(x)Y_{n+1}(x)-J_{n+1}(x)Y_{n}(x)=-\frac{2}{\pi x} )]
3.6. 점근 꼴[편집]
[math(\begin{cases}\begin{aligned}\displaystyle &J_{n}(x) \approx \frac{1}{\Gamma (n+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \quad& (x \ll 1) \\ \\ \displaystyle &J_{n}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos{\left( x-\frac{2n+1}{4} \pi \right)} \quad& (x \gg 1) \end{aligned}\end{cases} )]
3.7. 직교성[편집]
베셀 함수는 가중 함수(weight function) [math(f(x)=x)]와 구간 [math([0,\,1])]의 내적에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} )]
이때, [math(\delta_{\alpha \beta})]는 크로네커 델타이고, [math(j_{k,m})]은 [math(J_{k}(x))]의 [math(m)]번째 영점이다.
이를 증명해 보자. [math(u := J_{n}(j_{n,\alpha}x))], [math(v := J_{n}(j_{n,\beta}x))](단, [math(\alpha \neq \beta)])는 각각 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle\begin{aligned} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\alpha}^{2}x^2-n^{2})u&=0 \\ x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\beta}^{2}x^2-n^{2})v&=0 \end{aligned} )]
이때 위 식과 아래 식에 각각 [math(v)], [math(u)]를 곱하여 서로 뺀 뒤 정리해주면 다음과 같다.
양변을 구간 [math([0,\,1])]에 대하여 적분하면
[math(\displaystyle\left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right]_{0}^{1} + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2}) \int_{0}^{1}\,\mathrm{d}x=0 )]
이 된다. [math(u(1)=v(1)=0)]일 때 좌변의 첫째 항은 [math(0)]이 되고, [math(\alpha \neq \beta)]이면 위 등식을 만족시키기 위해선 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (\alpha \neq \beta) )]
이제 [math(\alpha=\beta)]인 경우를 증명하자. 다음의 적분
[math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x )]
을 고려하도록 하자. 중요한 것은, 이제 [math(k)]는 베셀 함수의 영점이 아닌 임의의 수라는 것이다. 위와 유사하게 베셀의 미분방정식을 이용하면
[math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x=-\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} )]
의 결과가 나온다. 여기에 극한을 취하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}^{2}(j_{n,\alpha}x)\mathrm{d}x=-\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} )]
위 극한은 [math(0/0)] 꼴이 되기 때문에 로피탈의 정리를 사용해야 한다.
[math(\displaystyle -\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}-\lim_{k \to j_{n,\alpha}} \frac{J_{n}'(k)j_{n,\alpha}J_{n}'(j_{n,\alpha})}{-2k}=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha}) )]
그런데 베셀 함수의 성질 중
[math(\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)-j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n+1}(j_{n,\alpha}x) )]
로부터 [math(x=1)]을 대입하면 [math(\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha}) )]이고, 마찬가지의 방법으로
[math(\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)+j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n-1}(j_{n,\alpha}x) )]
를 이용하면 [math(\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha}) )]를 얻는다. 이상에서 위 결과를
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 치환적분을 이용하면 다음을 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x J_{n}\left( \frac{j_{n,\alpha}x}{b} \right) J_{n}\left( \frac{j_{n,\beta}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x &=\frac{b^{2}}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} )]
3.7.1. 푸리에-베셀 급수[편집]
푸리에 급수로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \biggl( a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} \biggr) )]
로 전개할 수 있었고 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,\,b])]에 있는 함수를
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right) )]
로 전개할 수 있는데, 이것을 푸리에-베셀 급수(Fourier-Bessel series)라 한다. 각 항의 계수를 구하기 위해 양변에 [math(x J_{n}(j_{n,m}x/b))]를 곱하고, 구간에 대해 적분한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x&=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{b}x J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right)J_{m}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b^2 a_{k} \delta_{km}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \\&=\frac{b^2 a_{m}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \end{aligned} )]
따라서 다음의 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle a_{m}=\frac{2}{b^2 J_{n+1}^{2}(j_{n,m})} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x )]
4. 연관된 함수[편집]
4.1. 한켈 함수[편집]
한켈 함수(Hankel function)는 다음과 같이 정의된 함수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} H_{n}^{(1)}(x) &:= J_{n}(x)+i Y_{n}(x) \\ H_{n}^{(2)}(x) &:= J_{n}(x)-i Y_{n}(x) \end{aligned} )]
간혹 제3종 베셀 함수라고 부르기도 하며, [math(H_{n}^{(1)}(x))]와 [math(H_{n}^{(2)}(x))]는 선형 독립이다.
4.2. 수정 베셀 함수[편집]
수정 베셀 함수(modified Bessel function)는 다음의 미분방정식을 만족시키는 함수이다.
[math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-(x^2+n^{2})y=0 )]
다음을 각각 제1종 수정 베셀 함수, 제2종 수정 베셀 함수라 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} I_{n}(x) &:= i^{-n}J_{n}(ix) \\ K_{n}(x) &:= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-n}(x)-I_{n}(x)}{\sin{(n \pi)}} \end{aligned} )]
베셀 함수는 어느 정도 주기성을 띠면서 0으로 수렴하나, 이 수정 베셀 함수는 주기성이 완전히 없으며, 수렴하지도 않고 발산한다.
아래는 수정 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
4.3. 구면 베셀 함수[편집]
구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 구면 좌표계에서 라플라시안이 포함된 미분방정식을 풀었을 때, 반지름 성분에서 나오는 미분방정식
[math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[x^{2}-n(n+1) ]y=0 )]
을 만족시키는 함수이다. 적절한 치환 [math(y(x) := Y(x)/\sqrt{x})]를 사용하면 위 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x^{2}\left( \frac{3Y}{4x^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}} \right)+2x \left( \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}-\frac{Y}{2x} \right) +[x^{2}-n(n+1) ]Y&=0 \\ x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\left[ x^{2} - \left( n+\frac{1}{2} \right)^{2} \right]Y&=0\end{aligned} )]
여기서 [math(k=n+1/2)]으로 둔다면, 위 미분방정식의 해는
[math(\displaystyle y(x)=C_{1} \frac{J_{k}(x)}{\sqrt{x}}+C_{2}\frac{Y_{k}(x)}{\sqrt{x}} )]
가 된다. 여기서 나온 두 함수에 규격화를 목적으로 특정한 상수를 붙인 함수를
[math(\displaystyle \begin{aligned} j_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \end{aligned} )]
로 정의하고 각각 제1종 구면 베셀 함수, 제2종 구면 베셀 함수라 한다. 그런데 [math(k=n+1/2)]일 때는 [math(J_{k}(x))]와 [math(J_{-k}(x))]는 선형 독립으로써
[math(\displaystyle Y_{n+1/2}(x) \to J_{-(n+1/2)}(x) )]
로 대치하여도 상관없다. 따라서 제2종 구면 베셀 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle y_{n}(x) = {j}_{-n}(x) )]
[math(n)]이 정수일 때는 더욱 간단한 표현으로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle J_{k+1}(x)=-x^{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-k}J_{k}(x) ] )]
의 관계식을 이용하자. 구면 베셀 함수와 베셀 함수와의 관계를 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{J_{n+3/2}(x)}{\sqrt{x}}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x^{-n}J_{1+n/2}(x)}{\sqrt{x}} \right] \\ \\ \therefore {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ x^{-n}j_{n}(x) ] \end{aligned} )]
의 관계를 얻는다. 이 관계는 임의의 [math(n)]에 대해서 성립하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
j_{n+1}(x) &= -x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-1)} j_{n-1}(x) \right] \right] \\
&= -x^{n+1}\cdot \frac{x^{n}}{x^{n+1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( -\frac{x^{n-2}}{x^{n-1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-2)} j_{n-2}(x) \right] \right) \right] \\
&= \cdots \\
&= x^{n+1} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n+1} j_{0}(x) \\ \\
\therefore\;\displaystyle j_{n}(x)&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\sin{x}}{x}\quad \left(\because j_{0}=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}}J_{1/2}(x)=\frac{\sin{x}}{x}\right)
\end{aligned} )]
아래는 몇몇의 제1종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
j_{0}(x)&=\frac{\sin{x}}{x} \\
j_{1}(x)&=\frac{\sin{x}}{x^2}-\frac{\cos{x}}{x} \\
j_{2}(x)&=\left( \frac{3}{x^{2}}-1 \right) \frac{\sin{x}}{x}-\frac{3\cos{x}}{x^{2}} \\
j_{3}(x)&=\left( \frac{15}{x^{3}}-\frac{6}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right )\frac{\cos{x}}{x} \end{aligned} )]
또한, [math(\displaystyle J_{-1/2}(x)={\cos{x}}/{x} )]임을 이용하고, 베셀 함수의 재귀 관계를 이용하면,
[math(\displaystyle y_{n}(x)=-x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\cos{x}}{x} )]
로 쓸 수 있다. 아래는 몇몇의 제2종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
y_{1}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x} \\
y_{2}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x^2}-\frac{\sin{x}}{x} \\
y_{3}(x)&=\left( 1-\frac{3}{x^{2}} \right ) \frac{\cos{x}}{x}-\frac{3\sin{x}}{x^{2}} \\
y_{4}(x)&=\left( \frac{6}{x}- \frac{15}{x^{3}} \right)\frac{\cos{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right ) \frac{\sin{x}}{x}
\end{aligned} )]
아래는 구면 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
4.3.1. 구면 한켈 함수[편집]
구면 한켈 함수(spherical Hankel function)은 한켈 함수와 마찬가지로 구면 베셀 함수들의 선형 결합을 통해 만들어진 함수이다. 아래와 같이 제1종 구면 한켈 함수와 제2종 구면 한켈 함수를 정의한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} h_{n}^{(1)}(x) &:= j_{n}(x)+i y_{n}(x) \\ h_{n}^{(2)}(x) &:= j_{n}(x)-i y_{n}(x) \end{aligned} )]
4.4. 슈트루페 함수[편집]
슈트루페 함수(Struve function)는 수정 베셀 함수와 노이먼 함수의 합으로 정의된다.
[math(\displaystyle \bold{H}_n(x) := K_n(x) + Y_n(x) )]
4.5. 켈빈 함수[편집]
켈빈 함수(Kelvin function)는 베셀 함수에 복소 지수함수를 합성해서 실수부・허수부를 취한 함수이다.[6]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ber}_n(x) &:= (\Re \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{bei}_n(x) &:= (\Im \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{ker}_n(x) &:= (\Re \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \\ \mathrm{kei}_n(x) &:= (\Im \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \end{aligned} )]
5. 활용[편집]
5.1. 물리학적 활용[편집]
이 문단에서는 물리학적으로 베셀 함수가 사용되는 예를 실었다. 물리학과 학생이면 수리물리학을 통해 급수해를 공부하면서 한 번쯤은 보고 가게 되는 문제들이다.
- 원형막의 진동: 원형막의 끝을 고정시킨 상태에서 고유 진동 모드를 찾는 문제.
- 줄의 길이가 변하는 진자: 단진자 문제와 흡사하나, 줄의 길이가 시간에 따라 변하는 차이점이 있는 문제.
- 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자: 양자역학에서 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 고유 상태의 고유 함수를 결정하는 문제.
5.1.1. 원형막의 진동[편집]
자세한 내용은 막의 진동 문서를 참고하십시오.
5.1.2. 줄의 길이가 변하는 진자[편집]
줄의 길이가 [math(l=l_{0} \pm |v|t)] ([math(l_{0})]는 [math(t=0)]에서의 줄의 길이이고, [math(|v|)]는 줄 길이의 변화 속력이다.)이고, 평형 위치로부터 [math(\theta)]의 회전각을 갖는 단진자의 물체의 좌표는 아래와 같이 표현할 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} x&=l\cos{\theta} \\ y&=-l\sin{\theta} \end{aligned} )]
이 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는 각각 아래와 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} U&=-mgl\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (\dot{l}^{2}+l^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} )]
[math(l=l_{0} \pm |v|t)], [math(\dot{l}=\pm |v|)]임을 이용하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} U&=-mg(l_{0}+vt)\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (|v|^{2}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} )]
이상에서 우리가 논하는 진자의 라그랑지안은 다음과 같다.
[math( \displaystyle \mathscr{L}=m\biggl[ \frac{1}{2}[|v|^{2}+(l_{0}\pm|v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}]+(l_{0}\pm |v|t)g \cos{\theta} \biggr] )]
따라서 [math(\theta)]에 대하여 오일러-라그랑주 방정식
[math( \displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}} )]
을 통하여 운동 방정식을 구할 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} -(l_{0} \pm |v|t)g \sin{\theta}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [(l_{0} \pm |v| t)^{2} \dot{\theta}] \\&=\pm 2(l_{0} \pm |v|t)|v| \dot{\theta}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \ddot{\theta} \end{aligned} )]
미소진동 [math(\sin{\theta} \approx \theta)]를 고려하면
[math( \displaystyle l\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 )]
이 된다. 주의해야 할 것은 [math(l)]이 [math(t)]에 대한 함수이기 때문에 위 방정식을 감쇠 조화 진동자와 비슷한 방정식으로 생각하면 안 된다는 것이다. 즉,
[math( \displaystyle (l_{0} \pm |v|t)\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 )]
이기 때문에 이 방정식을 풀기 위해 다른 방법을 찾아야 한다.
먼저 아래의 연쇄 법칙을 활용한다.
[math( \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l}=\pm |v|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l} )]
을 고려하고, 변수를 [math(t \to l)]로 교체하고 적절한 함수 치환
[math( \displaystyle \theta(l) = \frac{f(u)}{\sqrt{l}} \quad \quad u := \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} )]
을 고려하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-1^{2})f&=0 \end{aligned} )]
으로 바꿀 수 있고, 이는 베셀의 미분 방정식이다. 따라서
[math( \displaystyle \theta(l)=\frac{A'}{\sqrt{l}}J_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \biggr)+\frac{B'}{\sqrt{l}}Y_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \biggr) )]
을 해로 갖는다. 따라서 해는
[math( \displaystyle \theta(t)=\frac{A'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}J_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \biggr)+\frac{B'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}Y_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \biggr) )]
의 꼴로 주어지고, [math(A')], [math(B')]는 초기 조건으로 결정되는 상수이다.
가장 간단한 형태인 [math(\theta(0)=\theta_{0})], [math(\dot\theta(0)=0)]일 때만 알아보자. 쉬운 분석을 위해 변수를
[math( \displaystyle \theta(u)=\frac{A}{u}J_{1}(u)+\frac{B}{u}Y_{1}(u) )]
형태로 고칠 수 있다. 이때, [math(\theta(t=0)=\theta(u=u_{0})=\theta_{0})], [math(\dot\theta(t=0)=\dot\theta(u=u_{0})=0)]이고, 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \theta_{0}&=\frac{A}{u_{0}}J_{1}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{1}(u_{0}) \\ 0&=-\biggl[ \frac{A}{u_{0}}J_{2}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{2}(u_{0}) \biggr] \quad \biggl(u_{0} := \frac{2\sqrt{gl_{0} }}{ |v|} \biggr) \end{aligned} )]
베셀 함수의 미분에는 베셀 함수의 미적분 관련 공식을 활용하였다. 위 식을 연립하면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} A&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}Y_{2}(u_{0}) \\ B&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}J_{2}(u_{0}) \end{aligned} )]
더욱 간단한 형태의 해를 얻기 위해 [math(u_{0})]에 제약을 걸자. [math(u_{0})]가 [math(J_{2}(u))]의 영점이라면, [math(B=0)]을 얻고, 해는
[math( \displaystyle \theta(u)=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2u}Y_{2}(u_{0})J_{1}(u) )]
그런데
[math( \displaystyle J_{1}(u_{0})Y_{2}(u_{0})-J_{2}(u_{0})Y_{1}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}} )]
가 성립하고, 좌변의 제2항은 상쇄[7] 되므로
[math( \displaystyle Y_{2}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}J_{1}(u_{0})} )]
[7] [math(u_{0})]를 [math(J_{2}(u))]의 영점이라 놓은 것을 상기하라.
따라서
[math(\displaystyle \theta(u)=\frac{u_{0} \theta_{0}}{u J_{1}(u_{0})}J_{1}(u) \, \to \, \theta(l)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \biggl( u_{0} \sqrt{\frac{l}{l_{0}} }\biggr) )]
이고, 시간에 따른 각변위는 아래와 같다.
[math( \displaystyle \theta(t)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l_{0} \pm |v|t} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \Biggl(u_{0} \sqrt{\frac{l_{0} \pm |v| t}{l_{0}} }\Biggr) )]
아래는 같은 [math(\theta_{0})]에 대해 [math(v>0)](줄의 길이가 늘어나는 상황)와 [math(v<0)](줄의 길이가 줄어드는 상황)에 대하여 시각에 대한 회전각을 나타낸 그래프이다.(단, 그 외의 조건은 임의대로 설정)
파일:나무_줄의 길이가 변하는 진자_NEW.png
보다시피 다음의 결과를 얻는다.
- [math(v>0)]인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 감소하고, 진동수 또한 작아진다.
- [math(v<0)]인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 증가하고, 진동수 또한 커진다.
5.1.3. 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자[편집]
다음과 같은 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자를 고려하자.
[math( \displaystyle V(\rho)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (\rho \le R)\\ \displaystyle \infty &\quad (\rho>R)\end{array}\right. )]
[math(0<\rho<R)] 영역에 대한 슈뢰딩거 방정식은
[math( \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} \psi=E \psi )]
로 표현될 것이며, 분석하기 가장 유용한 극좌표계로 설정하면 다음과 같이 표현된다.
[math( \displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}} +\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi=0 )]
파동함수가 반지름 성분 [math(\Rho(\rho))]와 각도 성분 [math(\Phi(\phi))]의 곱으로 이루어져 있다고 가정하자. [math(\psi = \Rho \Phi)]를 위 방정식에 대입하고 [math(k^{2} := 2mE/\hbar^{2})]으로 두고 정리하면 다음과 같다.
[math( \displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}}+k^{2} \rho^{2}=0 )]
아래와 같이 두면,
[math( \displaystyle \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}} := -m^{2} )]
해의 형태는 [math(\Phi \propto e^{im\phi})]가 되고, [math(\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2n\pi))]의 조건을 만족시키기 위해 [math(m)]은 정수여야 한다. 반지름 성분의 미분방정식은
[math(\begin{aligned} \displaystyle \rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \\ \displaystyle \rho^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\Rho}{\mathrm{d}\rho^{2}}+\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho}+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \end{aligned} )]
이것은 위에서 보았던 베셀 미분방정식이다. 이 방정식의 해는
[math( \displaystyle \rho=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\ Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} )]
인데 노이먼 함수는 [math(Y_{m}(x \to 0) \to -\infty)]이기에 지금 다루는 물리적 상황과 거리가 머므로 제외해야 하고, 반지름 성분에 해당하는 해는 [math(\Rho \propto J_{m}(k \rho))]를 얻는다.
경계조건으로 [math(\psi(\rho=R)=0)]을 만족시켜야 하므로
[math( \displaystyle kR=j_{m,n} )]
를 만족시켜야 한다. 따라서 [math((m,n))]번째 고유상태의 고유함수는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \varphi_{m,n}=A_{m,n} J_{m}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} )]
또한 그 고유상태의 고윳값 즉, 에너지는 다음과 같다.
[math( \displaystyle E_{m,n}=\frac{j_{m,n} \hbar^{2}}{2mR} )]
참고로 상수 [math(A_{m,n})]은 적분
[math( \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \varphi^{\ast}_{m,n} \varphi_{m,n} \rho \, \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi=1 )]
을 이용하면 결정할 수 있는데,
[math( \displaystyle |A_{mn}|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{R} \rho J_{m}^{2}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)\mathrm{d}\rho=\pi |A_{mn}|^{2} J_{m}'^{2}(j_{m,n}) )]
가 된다. 이상에서 규격화된 고유 함수는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \varphi_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{\pi} |J_{n}'(j_{m,n})|} J_{m} \left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} )]
아래는 한 예로 [math((n,\,m)=(1,\,2))]일 때 반지름이 [math(R)]인 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 발견 확률 밀도를 나타낸 것이다. 입자가 발견될 확률은 범례의 [math(-)]에 가까울수록 0에, [math(+)]에 가까울수록 최댓값에 가까워진다.
5.2. 재료역학에서의 활용[편집]
자중에 의한 좌굴(self-buckling)의 해가 제1종 베셀 함수이다.#
6. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-30 13:03:37에 나무위키 베셀 함수 문서에서 가져왔습니다.